Logique tétravalente

Lois et propriétés logiques

Soient p, q, r trois sous-ensembles de notre univers TFBN,
soient aussi les opérateurs "¬" (complément), "=" (égalité), "\" (inégalité), "<" (appartenance), ">" (inclusion), "&" (ET), "|" (OU), "-" (SAUF), "%" (OU EXCLUSIF), "<-" (SI), "->" (ALORS),
alors les lois et propriétés suivantes s'appliquent:

fermeture (closure):

1.	pour tout ensemble p, il existe un ensemble unique ¬p
2.	pour toute paire d'ensembles p et q, il existe un ensemble unique p & q
3.	Pour toute paire d'ensembles p et q, il existe un ensemble unique p | q
4.	Pour toute paire d'ensembles p et q, il existe un ensemble unique p - q
5.	Pour toute paire d'ensembles p et q, il existe un ensemble unique p % q

involution:

6.	¬(¬p)   =   p

idempotence:

7.	p & p   =   p
8.	p | p   =   p

commutativité:

9.	(p = q)   =   (q = p)
10.	(p \ q)   =   (q \ p)
11.	p & q   =   q & p
12.	p | q   =   q | p
13.	p % q   =   q % p

identité - propriétés de l'univers

14.	p & TFBN   =   p
15.	p | TFBN   =   TFBN
16.	p - TFBN   =   {}
17.	TFBN - p   =   ¬p
18.	p % TFBN   =   ¬p
19.	p | ¬p   =   TFBN
20.	p % ¬p   =   TFBN

identité - propriétés de l'ensemble vide

21.	p & {}   =   {}
22.	p | {}   =   p
23.	p - {}   =   p
24.	{} - p   =   {}
25.	p % {}   =   p
26.	p & ¬p   =   {}
27.	p % p   =   {}

associativité:

28.	(p & q) & r   =   p & (q & r)
29.	(p | q) | r   =   p | (q | r)
30.	(p % q) % r   =   p % (q % r)

distributivité:

31.	(p | q) & (p | r)   =   p | (q & r)
32.	(p & q) | (p & r)   =   p & (q | r)
33.	(p < q) & (p < r)   =   p < (q & r)
34.	(p > q) & (p > r)   =   p > (q | r)
35.	(p < q) | (p < r)   ->   p < (q | r)
36.	(p & q) = r   ->   (p > r) & (q > r)
37.	p = (q & r)   ->   (p < q) & (p < r)

absorption:

38.	p | (p & q)   =   p
39.	p & (p | q)   =   p
40.	(p | q) % (p | r)   =   (q % r)
41.	p   <   (p | q)
42.	p   >   (p & q)

consistence:

43.	p < q   =   q > p
44.	p < q   =   ((p & q) = p)
45.	p > q   =   ((p & q) = q)
46.	p < q   =   (p | q) = q
47.	p > q   =   (p | q) = p
48.	p -> q   =   (q <- p)

loi de De Morgan

49.	¬(p | q)   =   ¬p & ¬q
50.	¬(p & q)   =   ¬p | ¬q
51.	¬(p % q)   =   (p & q) | (¬p & ¬q)

propriétés de l'exclusion:

52.	p % q   =   (p | q) & (¬p | ¬q)
53.	p % q   =   (p | q) - (p & q)
54.	p % q   =   (p - q) | (q - p)

propriétés de l'implication

55.	T -> q   =   q
56.	B -> q   =   B -> q
57.	F -> q   =   {}
58.	N -> q   =   {}
59.	{} -> q   =   {}
60.	(p | q) -> r   =   (p -> r) | (q -> r)
61.	p -> (q & r)   =   (p -> q) & (p -> r)

syllogisme

62.	((p -> q) & (q -> r))   ->   (p -> r)

exclusion d'un terme tiers - ne s'applique pas

en logique binaire c'était la tautologie p | ¬p, or p | ¬p n'est pas une tautologie en logique tétravalente, ce principe y est donc remplacé par la règle 19: p | ¬p   =   TFBN p | ¬p n'est pas une tautologie en logique tétravalente.

principe de non-contradiction - ne s'applique pas

en logique binaire c'était la tautologie ¬(p & ¬p), or ¬(p & ¬p) n'est pas une tautologie en logique tétravalente, ce principe y est donc remplacé par le complément de la règle 26: ¬(p & ¬p)   =   TFBN

  Notez qu'on ne trouve ici que les postulats de base de la logique tétravalente; ainsi que les lois et règles les plus faciles à démontrer "à la main".